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通过一个典型的二次函数，设计出以下几类变式：求函数解析式、用字母表示出线段的长度、平分角问题、等腰或直角三角形存在性问题、角相等问题、面积比问题、平移问题、翻折问题、旋转问题和新定义问题。文末可以下载学习单，点击“阅读原文”链接相关内容学习的视频。

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01 二次函数背景分析

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背景分析：本题中抛物线与坐标轴的交点为(3,0)和(0,3)，根据这个特殊性，可以得到∠OBA=∠BAO=45°，由于MP⊥x轴，因此可得到∠QPB=∠MPA=∠BAO=45°，同时随着点M的运动，点P和点Q也伴随运动，并且这三点的横坐标一致，P、Q两点的坐标都可以用含m代数式表示。

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02 求二次函数解析式、对称轴和顶点坐标

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解法分析：二次函数的解析式中有两个系数未知，根据题目中提供的A(3,0)，点B（0,3），通过待定系数法完成求解。

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03 用含m的代数式表示线段PQ的长

解法分析：通过读题、结合图形，可以发现点M、Q、P在同一条直线上，且直线与横轴是垂直的位置关系，那么直线上所有点的横坐标相同，即m，点P在线段AB上，所以先求出线段AB所在直线解析式，可以得到点P的坐标，点Q在抛物线上，根据上一小问中求出的抛物线表达式，得到点Q的坐标，从而求出线段PQ的长。

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04 二次函数与角平分线

问题1：联结BM，当BM平分∠ABO，求点M的坐标解法分析：在两条直线平行的背景下，一个角的角平分线可以构造等腰三角形，在知道边长的情况，通过列方程，求解。

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除了上述利用角平分线+平行线→等腰三角形的模型外，还可以利用以下三种方式求解：方法1利用角平分线的性质定理，过点M作MN⊥AB，利用OM+MA=3求出m的值；方法2利用∠OAM=22.5°，利用22.5°特殊角的正切值求解，但是需要推导出22.5°的计算过程；方法3利用角平分线分线段成比例定理，也是需要证明的。

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       问题2： 联结BQ、AQ，当QM平分∠BQA，求点M的坐标

解法分析：已知平分和垂直，则联想“等腰三角形三线合一”，延长QB交x轴。此时构造了一组A型基本图形，利用比例线段求解。除了下图所示方法外，还可以过点B作QM的垂线，利用tan∠BQP=tan∠AQM求解。

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05 特殊三角形的存在性

问题1：联结BQ，若△BPQ为直角三角形，求点M的坐标解法分析：已知∠QPB=45°，因此，若▲PBQ为直角三角形则有两种情况，即∠BQP=90°或∠PBQ=90°，此时根据对称性或等腰三角形的性质，可以求出点M的坐标。

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问题2：联结BQ，若△BPQ为等腰三角形，求点M的坐标解法分析：当▲PBQ为等腰三角形时，从等腰三角形图形特征出发，两个边相等，但不能确定具体是哪两个边相等，因此需要分类讨论，以点Q为顶角的顶点，以点B为顶角的顶点，以点P为顶角的顶点，在过程中，关注特殊角45度。

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06 角相等问题

问题：联结OP，当∠BOP=∠PBQ时，求点M的坐标解法分析：通过图像发现直线PM∥y轴，得到∠BPQ和∠OBA这一对内错角相等，根据相似三角形的判定定理1，得到▲OBP与▲BPQ相似，借助相似三角形性质，对应线段成比例，从而求出m，便可求出PQ的线段的长度。

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07 面积比问题

问题1：△BPQ面积是▲OPM面积的两倍，求点M的坐标.解法分析：这两个三角形是等高的，因此这两个三角形的面积之比等于底之比。

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问题2：记抛物线与x轴的另一个交点为C，联结CQ、AB，若CQ与AB的交点为N，用含m的代数式表示△BNQ和△ANQ的面积比。解法分析：这两个三角形的面积比等于底之比，即求BN:AN的值。但是若用距离公式计算，会面临含根号无法开方的情况。因此可以通过作平行线转化线段之比。在计算的过程中，涉及到求直线CQ的解析式或者求解交点坐标N，这都对计算有着较高的要求。

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08 翻折问题

问题：点Q沿着AB翻折到Q′，若Q′是在抛物线对称轴上，求点M的坐标解法分析：通过∠BPQ=45°，继续关注特殊角45度，根据翻折的性质，对应角相等，对应边相等，所以∠QPQ'=90°，PQ=PQ'，因为点在抛物线对称轴上，从而得解。

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09 平移问题

问题1：将抛物线沿抛物线对称轴向下平移n个单位，使原抛物线顶点D落在▲ABO的内部，求n的取值范围.解法分析：通过分析可知，点D落在▲ABO内部时，有两个特殊位置需要关注，即直线x=1与直线AB的交点C和与x轴的交点E，求出交点的纵坐标即可得到平移的距离。

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问题2：抛物线顶点D为(1,4)，抛物线对称轴交线段AB于点E，将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移n个单位，使点K落在线段OB上，新抛物线与原抛物线对称轴交点为点H，联结HK.若四边形BKHD的面积为3，求n的值.

解法分析：通过分析可知，先根据题意画出平移后的抛物线图像，然后用含n的代数式表示点K、点H的坐标，表示BK、DH的长度，表示四边形的面积，从而求得n的值。

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10 旋转问题

问题：记原抛物线M的顶点为D，将抛物线M向下平移t个单位(t>0)，得到抛物线N，记抛物线N的顶点为E，再把点D绕点E顺时针旋转135°，得到点F，若点F在抛物线N上，求t的值.解法分析：画出平移后的抛物线图像，根据旋转的性质画出点F，继而通过过点F作DE的垂线得到∠MEF=∠EFM=45°，从而用含t的代数式表示出点F的坐标，代入平移后的抛物线即可求出t的值。

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11 圆中位置关系

问题：记抛物线与x轴的另一个交点为C，联结CQ，若CQ与y轴的交点为F，以CF为半径的圆C和与以BQ为半径的圆Q外切，求点Q的坐标.解法分析：根据两圆外切，可知圆心距CQ=CF+BQ，同时可知CQ=CF+FQ，从而得到BQ=FQ，进而过点Q作y轴的垂线，利用等腰三角形的三线合一定理以及X型基本图形建立线段间的比例关系。

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12 新定义问题

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解法分析：根据题意，可得  ， 继而得 ，因此本题的难点在与如何合理取点画出函数的大致图像。通过观察解析式可知该新函数的定义域为x≠0，而  的图像在x>0和x≤0时的变化趋势是不同，因此在取点时需要考虑x>0和x<0时两个范围。

同时发现当x>0时，在x=1处取得函数的最小值，即最低点。而在0<x<1和x>1时的变化趋势不同；当x<0时，随着x越来越小，函数值越来大，结合理性分析，再借助列表描点的方法可以大致确定函数图像，继而分析其性质。

由于本题是填空题，也可以利用特殊值法代入的方式进行判断。

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附

二次函数中旋转和翻折变化

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当抛物线绕原点和顶点180°旋转时，开口方向、顶点坐标、解析式又会如何变化呢？让我们先来观察下旋转变换后函数图像的变化：

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通过观察图像，我们发现：当图像关于原点旋转180°时，开口方向改变，顶点横、纵坐标变为相反数；当图像关于顶点180°旋转时，开口方向改变，顶点横、纵坐标不变。因此归纳如下表格：

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当抛物线关于x轴、y轴翻折时，开口方向、顶点坐标、解析式又会如何变化呢？让我们先来观察下翻折变换后函数图像的变化：

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    通过观察图像，我们发现：当图像关于y轴翻折时，开口方向不变，顶点横坐标变为相反数，顶点纵坐标不变；当图像关于x轴翻折时，开口方向改变，顶点横坐标不变，顶点纵坐标互为相反数。 

        因此归纳如下表格：

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